Mathe Kurvendiskussion

[elmoero00]

Ok ich hab grad nen problem in mathe.
wir behandeln grade das thema kurvendiskussion.

gegeben ist die funktion f(x)=x³-6x²+9x-2

dann müssen wir von der 2.ableitung den hochpunkt und tiefpunkt ausrechnen.

die 2.ableitung heisst dann f"(x)=6x-12

wie rechne ich yez aber den hoch und tiefpunkt aus?

ich glaub man muss um den hoch/tiefpunkt auszurechnen, die extremwerte haben.
auf meinem blatt steht das die extremwerte 1 und 2 sind.
aber ich hab keine ahnung wie man auf die extrempunkte kommt.

wär nett, wenn mir mal einer erklärt wie ich auf die extremwerte komm :)

ich weiss auch das das hier kein hausaufgabenforum ist, aber da ich euch als recht hilfsbereit einschätze, hab ich einfach mal gefragt :)

Edit: ich hab auch schon google benutzt, allerdings ist das da so derbe schwer erklärt... :no:

[peter8402]

nachdem ich gerade eine verkorkste Mathe-abiklausur hinter mir hab :kotz: ist das schon ne etwas leichtere Übung ^^.

f(x)=x³-6x²+9x-2

f'(x)= 3x²-12x+9
f''(x)= 6x-12
f'''(x)= 6

Die Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte) errechnen sich folgendermaßen:
f'(x) = 0 UND f''(x) ungleich 0
Tiefpunkt f''(x) > 0 ; Hochpunkt f''(x) < 0

3x²-12x + 9 = 0 | /3 <=> x² - 4x + 3 = 0
pq-Formel zum lösen quadratischer Funktionen dürfte bekannt sein :
1x²+px+q=0
x1,2 = -p/2 +- Wurzel aus (p/2)² -q

man bekommt also x1,2 = 2+- wurzel aus 4-3 => x1 = 3 ; x2= 1

jetzt musst du schauen ob das hinreichende Kriterium auch zutrifft:

6(3)-12 > 0 daher Tiefpunkt an der stelle 3 y-koordinate durch einsetzten in f(x) : 3³-6*3²+9*3-2 = 27-54+27-2 = -2
Tiefpunkt : (3/-2)

6(1)-12 < 0 daher Hochpunkt an der stelle 1 "" "" 1³-6*1²+9*1-2 = 1-6+9-2=2 Hochpunkt: (1/2)


Die Wendestellen bzw. Sattelpunkte errechnen sich ähnlich. Bedingung dafür wäre :
f''(x)=0 UND f'''(x) ungleich 0

kannste ja jetzt selber machen wenn du willst ^^.

[ComSubVie]

f'(x)=0 => wendepunkte
f''(x)=0 => minimal/maximalwerte

f''(x) = 6x-12 = 0 => x = 2 (d.h. bei 2 ist ein minimal oder maximalwert)

[peter8402]

öhm nö bei 2 ist eine Wendestelle von f(x) :p

[elmoero00]

@peter
yo danke :)
yez versteh ichs :)

weisst du denn auch wie man die wendetangente ausrechnet?

ich steh zur zeit was aufn schlauch, da unser mathe lehrer dienstag das thema neu angeschnitten hat und wir uns das bis morgen selber beibringen sollen, da wir viell. nen kleinen test schreiben.

[peter8402]

Ohja Tangenten durfte ich heute morgen auch schon einige ausrechnen... allerdings an Kreisen :omg: Jo gut du hast die Wendestelle 2, da f''(2)=0 und f'''(2)=6 und damit ungleich 0
Y-Koordinate:
f(2)=2³-6*2²+9*2-2= 8-24+18-2 = -2
Wendepunkt der Funktion f(x) ist damit (2/-2)
Wenn in diesem Punkt eine Tangente anliegen soll, die sich Wendetangente nennt :p , dann musst du erstmal die Steigung dieser Tangente berechnen.
Die Steigung eines Punktes ist einfach Die ableitung der Funktion mit x = Wendestelle (hier eben 2)

Also Steigung: f'(2) = 3*2²-12*2+9 = 12-24+9 = -3

aus der Geradengleichung f(x) = m (steigung) * x + n (y-achsenabschnitt bzw. schnitt der Geraden mit der Y-achse) also kurz y= m*x+n
m ist ja jetzt bekann (-3) , und für x und y kannst du jetzt die Koordinaten des Wendepunktes einsetzen:
-2=-3*2+n <=> 2=6+n <=> n= -4
Damit lautet die Geradengleichung der Wendetangente: y= -3x -4

Soo für jede weiter Frage 10 € :jupp:

[elmoero00]

hm zuerst mal fettes danke...
dafür das du grade ne mathe klausur hinter dir hattest, ist es echt super das du mir doch noch hilfst :)
ich guck mir das yez mal in ruhe an...

aber ich hab noch ne frage :rolleyes:
wenn ich den wendepunkt ausrechne,

muss ich die 2.ableitung mit 0 gleichsetzen.

also f"(x)=6x-12=0

dann lös ich die gleichung nach x auf

6x=12
x=2

ist dann der wendepunkt für f"(x) 2;0 ?

und die dritte ableitung soll dann ungleich 0 sein..
wie soll ich das denn machen *kraz


Edit: 10 euro hab ich leider nicht :(
aber ich kann dir meine liebe anbieten :) :D

naya das war dann jetzt auch die letzte frage, versprochen :) ^^

[peter8402]

Hab ich doch oben geschrieben ! . Ok nochmal Langsam

Die beiden Bedingungen für eine wendestelle einer funktion sind:
- f''(x) = o
- f'''(x) ungleich 0

Du setzt die 2. ableitung also gleich Null, schaust was du für x rausbekommst , und prüfst nach, ob es , eingesetzt in die 3. Ableitung auch ungleich 0 ist.

Wenn das der Fall ist dann kannst du sicher sein, dass bei dem X-Wert die Wendestelle ist. Bei dem Beispiel hier wars

f''(2)=0 und f'''(2)=6

So jetzt haste die x-Koordinate von dem Wendepunkt, dir fehlt noch die Y-Koordinate.

Dafür setzt du 2 also wieder in f(x) ein : f(2)=2³-6*2²+9*2-2= 8-24+18-2 = -2
Du hast jetzt eindeutig den Wendepunkt: (2/-2)

[elmoero00]

ok danke das wars dann auch :)
von mir aus kann der zu :)
nochmal nen richtig fettes danke für die hilfe.

f(2)=2³-6*2²+9*2-2= 8-24+18-2 = -2

ist übrigens=0 und nicht =-2 :P
sei verbannt :P

hihi

[peter8402]

oops hast Recht ;) naja ging ja eh mehr ums Prinzip, von daher ist der kleine rechenfehler ja unerheblich :unsch: