Mathematisches Denkspiel

[ComSubVie]

Wir belauschen 2 Mathematiker, die sich über zwei Variable x und y (beide im Bereich [2,100]) unterhalten:

A: Ich kenne x*y aber ich kenne x und y nicht.
B: Ich kenne x+y und ich wusste das du x und y nicht kennst.
A: Aber dann weiß ich x und y.
B: Wenn das so ist, dann kenn ich x und y auch.

Und wir fragen uns jetzt, welche Werte x und y haben... Ideen? Lösungen (inc. Lösungsweg) per PM an mich, ihr habt 2 Wochen Zeit, dann wird (vielleicht, ob einer großzügigen Gottheit...) die Lösung bekanntgegeben... aba nur vielleicht :eg:

[Neokwi]

Hehe, schönes Rätsel.

Nur um sicher zu gehen, meinst du im Bereich von 2 bis 100 (also 2,3,4,...,98,99,100), oder zwischen 2 und 100 (also 3,4,5,...,97,98,99).

[Raskolnikow]

pssst... die eckigen Klammern sind eindeutig... ;)

[Alexander]

Nach 10 minütigen intensiven Nachdenken und Überlegen komm ich zu dem Schluss,dass die Aufgabe entweder meine Fähigkeiten übersteigt oder unlösbar ist :D

Vielleicht noch ein kleiner Tipp?

[Swizzy]

Naja 2 wochen auf die lösung warten ??? kannst net früher geben :)

[maxl]

Auf normalem Weg lässt es sich mal sicher nicht lösen, aber ich werde mir noch ein bisschen den Kopf darüber zerbrechen... da muss es irgendeinen Trick geben. ;)

@ Raskolnikow: Ich denke nicht, dass Leute, die mit der Intervall-Schreibweise nicht vertraut sind, sich alleine deshalb disqualifizieren.
deshalb: 2<=x<=100 und 2<=y<=100

[edit]
@ SWIZZ_RULER: Do sollst doch selber auch nachdenken. :p

[ComSubVie]

10 minuten und schon aufgeben? mit ein paar stunden zerebraler onanie sollte man schon rechnen...

tipps wollts ihr? naja... die goldbachsche Vermutung ist mal ein tipp, Kripke-Strukturen und formale mathematische Logik sind vielleicht auch hilfreich, aber es ist auch ohne diesen hochtrabenden mathematischen Monstern lösbar ;)

[ONeil]

Original geschrieben von ComSubVie
naja... die goldbachsche Vermutung ist mal ein tipp, Kripke-Strukturen

Ein Fall für meinen Mathematik-Duden also;)

[mafia4yu]

lololololol, ich bibn aufm gym und hab in mathe ne 4 aber ich kanns nich

[Zockergod]

wissen die beiden voeher denn, dass jede variable im bereich von [2,100] liegt oder nicht?

[ComSubVie]

jopp, das wissen sie. das ergebnis (x*y bzw. x+y) muss aber nicht in diesem bereich liegen (könnte aber :p)

[ONeil]

Is das Ergebniss bei x*y und x+y das gleiche, oder is das verschieden?

[Alexander]

Also wenns das gleiche wär,dann wärs ein bisschen einfach ;)

[ComSubVie]

falls du damit x*y=x+y meinst so ist diese annahme falsch (naja, nicht zwangsläufig, aba davon auszugehen ist falsch - und für das richtige ergebnis trifft es nicht zu)

aber man kann getrost von einer der beiden möglichkeiten ausgehen:
x*y=y*x sowie x+y=y+x (klar, wir sind ja kommutativ)
bzw. (was eigentlich aufgrund der kommutativität folgt): x<=y oder y<=x

das es zwei lösungen gibt, nämlich (x,y) sowie (y,x) sollte ja wohl jedem klar sein (schon alleine aufgrund des kommutativgesetzes). natürlich ist auch (x,x) möglich, aba das könnt ihr auch schon mal getrost ausschließen...

so, jetzt bleibt eh fast nix mehr übrig... nur noch etwa 4000 möglichkeiten :eg:

[Mephistopheles]

Das "Aber dann" aus dem zweiten Satz von A, lässt anscheinend darauf schliessen, dass B in seinem ersten Satz irgend einen Hinweis gibt. Stimmt das?
Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig vormuliert hast (Ich meine, ob vielleicht irgendwo ein wichtiges Wort fehlt oder so.)?

Mephisto

p.s.: Ab welcher Stufe sollte man das draufhaben?

[klonstatt]

mh kurz gesagt knifflig :D

[ComSubVie]

Original geschrieben von Mephistopheles
Das "Aber dann" aus dem zweiten Satz von A, lässt anscheinend darauf schliessen, dass B in seinem ersten Satz irgend einen Hinweis gibt. Stimmt das?

jopp, genau. du kannst es ja auch anders formulieren:
x+y lässt auf nichteindeutige faktoren von x*y schließen (oder so ähnlich... :D)

Original geschrieben von Mephistopheles
Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig vormuliert hast (Ich meine, ob vielleicht irgendwo ein wichtiges Wort fehlt oder so.)?

ja, die ist vollständig :p

Original geschrieben von Mephistopheles
p.s.: Ab welcher Stufe sollte man das draufhaben?

keine ahnung, ist ja nicht mein problem :eg:

[klonstatt]

mh ich hänge daran einige stunden und komme zu keinem entschluss :D da muss detektiv conan dran :P

[chAos]

welche menge ist denn erlaubt ?

natuerliche, ganze, rationale, reelle oder komplexe ???

fuer rationale oder reelle haette ich meiner meinung nach die loesung

[ComSubVie]

hm, wie schreibt man hier diese komischen symbole? naja, wurscht, dann schreib ichs halt aus: die natürlichen zahlen (wobei bei 2<=x<=100 die unterscheidung N, N0 oder Z ja hinfällig ist ;))

[Chriss]

Na, nicht wirklich...?

Aber mal kucken, da könntmer mal noch drüber brüten...

[maxl]

Was zum Teufel sind Kripke Strukturen? Davon hab ich noch nie was gehört. :( Naja...
@CSV: könntest das nächste mal mit nem niedrigeren Schwierigkeitsgrad beginnen, wenn du Aufgaben stellst. Das ist für mich wirklich unlösbar. ;)

[Gonzo]

also ich kann damit gar nichts anfangen:confused:

*gespanntauflösungwart*

[Chriss]

Original geschrieben von ONeil
Ein Fall für meinen Mathematik-Duden also;)

Oder für google ;)

Hei Leute - ich meine anstrengen könntet ihr euch ja schon, oder? Das sind einfach keine Aufgaben die man sofort lösen kann. Da ist einfach nachdenken und sich informieren gefragt ;)

@CSV: Danke für den Tipp - das hat mich darauf gebracht daran zu denken das es ja nur natürliche Zahlen sind :bang:

Nun gut... Trotzdem... Interessant...

[ComSubVie]

Gegenseitige Hilfe soll nicht ausgeschlossen werden, ihr könnt ja euren jeweiligen Stand (sofern er nicht die Lösung ist) hier posten... Ob ich die richtigkeit der Annahmen bestätige sei jedoch mal dahingestellt :eg:

[Chriss]

Schreib ich einfach mal was...

Es geht ja darum das A und B eine Zahl haben, von der A weis das sie die Multiplikation zweier Natürlicher Zahlen x und y ist. (natürlich heißt positive ganze?) B weis das die Zahl, die er hat (nicht zwingend und wahrscheinlich nicht identisch mit der Zahl die B hat) die summe aus zwei zahlen x und y ist. Beide reden vom gleichen x und y. Jetzt geht's irgendwie darum, daß B sagt er kenne die Summe der Zahl (welche mindestens 4 ist) und dadurch A die Lösung gibt. Vermutlich hat A mehrere lösungen parat welche möglich wären. Bei der goldbachschen Vermutung geht's nun darum das man jede natürliche Zahl größer als zwei als Summe zweier Primzahlen darstellen kann. (Dies ist nicht bewiesen, wird aber als wahrscheinlich angesehen) Nun denke ich geht's halt irgendwie darum das auch B mehrere Lösungen parat hat, und durch die Kombination wissen dann irgendwie beide was die lösung ist...

[ComSubVie]

Ich geb mal ein bisserl Senf dazu:

natürlich heißt in diesem fall ganze zahlen im bereich 2<=x<=100. ist das soooo undeutlich geschrieben???

B sagt das er die summe kennt (sagt diese aber NICHT), und dass er weiß das A x und y nicht kennen kann (erst dieser Teil ist der wichtige!)

Am Anfang haben sowohl A als auch B eine Anzahl von Lösungen parat (nämlich genau alle jene Zahlen die als Produkt bzw. als Summe die jeweilige Zahl ergeben die A bzw. B weiß)

Der wichtige Punkt ist, dass A für seine Zahl mehrere Lösungen hat. Die Aussage von B dass A x und y nicht kennen kann (die er aus dem Wissen der Summe hat) schränkt diese Anzahl der Lösungen aber auf GENAU EINE ein.

Noch ein paar Worte zur goldbach'schen Vermutung: Jede natürliche GERADE Zahl größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen. (Ist für UNSEREN WERTEBEREICH 2<=x<=100 BEWIESEN. Ist AFAICT bis zu 40Billionen bewiesen, daher wird es als wahrscheinlich gültig angenommen).

B hat natürlich genauso mehrere Lösungen parat, welche aber dann durch die Aussage von A "dann weiß ich x und y" auch auf GENAU EINE - nämlich die gleiche wie die von A - beschränkt wird.

Schon geil, nicht? :eg:

[Chriss]

Bäh... das teil beginnt mich zu verven... damit werd ich definitiv auch noch ein paar Leute bei mir @Scool beehren :motz:

Chriss-no URLs!(14:23 PM) :
weist du eigentlich wie denklastig das ist? :D
ComSµb/îe(14:25 PM) :
jopp
ComSµb/îe(14:26 PM) :
ich habs heute gelöst :D
Chriss-no URLs!(14:26 PM) :
echt? respekt..
ComSµb/îe(14:28 PM) :
gell. bin gespannt wann - und ob - wer aufm board draufkommt
Chriss-no URLs!(14:28 PM) :
nunja... hasu mein post gelesen?
ComSµb/îe(14:29 PM) :
is das das auf das ich geantwortet habe, oda is scho wieder ein neues da?
Chriss-no URLs!(14:29 PM) :
ka.. ich kuck gerade
Chriss-no URLs!(14:29 PM) :
scheint's ist da ne aw da
Chriss-no URLs!(14:31 PM) :
gut... soweit war ich auch... die frage ist nur wie B's aussage er wisse das A nix wisse A's wissen erweitert :D
Chriss-no URLs!(14:33 PM) :
Der wichtige Punkt ist, dass A für seine Zahl mehrere Lösungen hat.
# ok. soweit war ich auch
Die Aussage von B dass A x und y nicht kennen kann schränkt diese Anzahl der Lösungen aber auf GENAU EINE ein.
# lass mich raten - genau das ist zu beweisen?
(die er aus dem Wissen der Summe hat)
# aber was versteh ich an deiner aussage noch nicht...
ComSµb/îe(14:36 PM) :
naja, die theorie ist folgende: nehmen wir mal an, B würde 22 kennen (falsch! :p). dann hätte B für x und y folgende möglichkeiten: (2,20) (3,19), (4,18), (5,17), (6,18), (7,19), ...

soweit klar?
Chriss-no URLs!(14:37 PM) :
ja
Chriss-no URLs!(14:38 PM) :
A kennt demnach z.B. 40 mit lösung(2,20) (1.40) (8,5)
Chriss-no URLs!(14:39 PM) :
demnach hieße das, daß beide lösungsmengen einen gemeinsamen teil haben.
aber wie wollen die sich das mitteilen?
ComSµb/îe(14:43 PM) :
ja, aba das is ned das worauf ich hinauswill ;)

der wichtige punkt ist, das wenn wir zum beispiel die lösung (5,17) ansehen, dann ist das 5*17=85. die primfaktoren von 85 sind aber 5 und 17, damit würd A aufgrund von x*y EINDEUTIG auf die primfaktoren rückschließen können, was aussage 1 widerspricht.

klar?
Chriss-no URLs!(14:45 PM) :
NEIIIIIIIIIIIIIIIN
Chriss-no URLs!(14:45 PM) :
warte mal
Chriss-no URLs!(14:46 PM) :
ok... mom
Chriss-no URLs!(14:48 PM) :
mäh... jetzt weiß ich mehr... aber immer noch nicht genug...
das heißt soviel wie x und y sind keine primzahlen... aber dann ist doch die lösung nicht eindeutig? bzw. wie wollen die sich dann mit den wenigen infos auf eine ihrer lösungen einigen?
ComSµb/îe(14:49 PM) :
ja, aba es geht ja weiter ;)
Chriss-no URLs!(14:49 PM) :
mal schaun... die zahl von A ist nicht sehr groß, oder?
ComSµb/îe(14:50 PM) :
naja... :p
Chriss-no URLs!(14:50 PM) :
nunja - weis B was von A's zahl?
ComSµb/îe(14:50 PM) :
nur dass es x*y ist
Chriss-no URLs!(14:52 PM) :
B hat jedenfalls definitiv zwei primzahlen in seinem repertoire - und weiß das die zahl die a hat nicht die multiplikation dessen ist - sonst hätte A ne eindeutige lösung. folglich ist b's zahl die kleinste die als summe von zwei primzahlen und zwei nicht-primzahlen dargestellt werden kann? weil... dann hat B ne eindeutige lösung. aber A?
Chriss-no URLs!(14:53 PM) :
a kann ja bs lösung rekonstruieren weil er ja auch weiß das es die kleinste zahl sein muss
Chriss-no URLs!(14:53 PM) :
oda?
ComSµb/îe(14:55 PM) :
nein
Chriss-no URLs!(14:55 PM) :
hmpf... nicht verstanden oder nein?
ComSµb/îe(14:55 PM) :
nein
ComSµb/îe(14:56 PM) :
B kann nur eine ungerade Zahl haben (weil eine gerade zahl ergibt sich ja aus zwei primzahlen welche dann als produkt eindeutig ist)
Chriss-no URLs!(14:57 PM) :
warum? eine gerade zahl kann als summe genauso aus zwei nicht-pzs sein...10 z.B.... du KANNST das als summe aus 7 und 3 darstellen - aber genau so mit 4 und 6
ComSµb/îe(14:59 PM) :
ja, aber du kannst schon mal alle lösungen ausschließen, wo x UND y eine primzahl sind, weil dann x*y eindeutig wäre. daraus kannst du einfach folgern das B nur eine ungerade zahl kennen kann
Chriss-no URLs!(15:01 PM) :
erster teil, richtig
aber rest - nein.... warum? das entkräftet mein 4 und 6 = 10 beispiel nicht
ComSµb/îe(15:04 PM) :
ja, aber 10=(4,6)=(3,7). wenn B 10 kennt, so gibt es die möglichkeit das sich 10 aus 3,7 ergeben könnte (er weiß es ja nicht), und in diesem fall kann er nicht darauf schließen dass A x und y nicht kennt. B kennt ja die Lösung nicht, B sieht eine Menge von Lösungen die für seine Summe passen, und wenn EINE dieser Lösungen zu einer eindeutigen Bestimmbarkeit von x,y aus x*y führt widerspricht das Aussage B1
Chriss-no URLs!(15:04 PM) :
geht's eigentlich darum x und y rauszukriegen? bzw. kannman das?
Chriss-no URLs!(15:04 PM) :
ah, shit
ComSµb/îe(15:04 PM) :
jopp, darum gehts und man kann ;)
Chriss-no URLs!(15:04 PM) :
eindeutig? sprich - könnte es noch eine größere lösung geben?
ComSµb/îe(15:05 PM) :
jopp, eindeutig. es gibt nur eine lösung
Chriss-no URLs!(15:05 PM) :
mäh ist das krank. das muss ich mal offlie testen...
ComSµb/îe(15:06 PM) :
*ggg*
Chriss-no URLs!(15:06 PM) :
das ist sogar WIRKLICH krank
ComSµb/îe(15:07 PM) :
du kannst ja mal das icp-log ins forum posten, vielleicht hilfts ja wen :D

[chAos]

da meine 'loesung' wohl vollkommen falsch is, rechenfehler :rolleyes:, werde ich ma bekanntgeben bis wohin ich mir sicher bin

x*y = z1
x+y = z2

x = z1/y
x = z2-y

durch gleichsetzen ergibt sich folgendes

z1/y = z2-y
y*y-z2*y+z1 = 0

durch quadratische losung ergibt sich fuer y folgendes:
(hier war mein rechenfehler, ich hatte mit
D = (b+sqrt(b*b-4*a*c))/ und
D = (b-sqrt(b*b-4*a*c)) gerechnet, vor dem ersten b hatte ich einfach nen minus vergessen, daraus haette sich ergeben y > x, bzw. x > y)

y = (z2+sqrt(z2*z2-4*z1))/2
y = (z2-sqrt(z2*z2-4*z1))/2

durch ersetzen von z1 und z2 ergibt sich nun folgendes:

y = (x+y+x-y)/2
y = (x+y-x+y)/2

y = x
y = y

es gibt nur eine einzige loesung, da x = y, sprich die diskriminante ist gleich 0

z2*z2-4*z1 = 0
z2*z2 = 4*z1

ich hoffe einer von euch kann damit was anfangen

[ComSubVie]

x=y ist definitiv falsch :p

[chAos]

wahh, das ding is mir zu hoch, anscheinend kann man da net mit 'normalen' formeln drangehn, da sonst son stuss wie bei mri rauskommt

[ComSubVie]

naja, bei den "normalen formeln" fehlt irgendwie die abbildung von wissensstand bzw. schlüssen... aba es wird schon wer checken. zur verinfachung kann ich js mal den wertebereich einschränken: [2-100] für x, y, x+y und x*y - vielleicht bringts euch ja was ;)

[klonstatt]

hm das bringt mir absolut garnix ;)

[Chriss]

Original geschrieben von chAos
wahh, das ding is mir zu hoch, anscheinend kann man da net mit 'normalen' formeln drangehn, da sonst son stuss wie bei mri rauskommt

Ja, das ist irgendwie das Problem... Ich hab nun zwar einiges mehr an einsicht als vorher - aber mir fehlt ne strategie um das anzugehen...

[maxl]

so geht es mir auch Chriss... aber ich würde da gerne schon selber drauf kommen. :)

[Chriss]

Auf den lösungsweg? ;)

also angesichts der menge an hilfe die CSV mir schon gegeben hat ist da nicht mehr sooo viel eigenleistung dabei...
Es fällt mir schwer das zu sagen, aber ich mach viel zu wenig in Mathe, mir fehlt da für SOWAS echt der blick... Ich sollte mehr üben...

[ComSubVie]

mannomann, seit ihr heute aba wieder faul :D

[maxl]

Ich versuch dass dann nochmal 3 Tage bevor du die Lösung (villeicht?) veröffentlichs... dann ist die Wartezeit erträglicher, wenn ich es net schaffe. :D

[ComSubVie]

ich werd am montag die halbe lösung posten, vielleicht hilfts ja (immerhin schafft es a ja daraus x und y zu berechnen;))

[klaus52]

Hmm, ich hatte bisher noch keine Zeit mich damit zu beschäfitgen, aber biem durchlesen der Aufgabe hat ich ne Idee (jedenfalls, wie ich anfangen kann es minimal einzuschränken - wobei ich die Idee nch nciht auf Denkfehler überprüft hab :D) ... beim durchlesen eurer Beiträge wurd ich allerdings wieder ziemlich verunsichert weil ich (vielleicht wegen der Zeitnot in der ich das alles lese) kaum was verstanden hab - aber es kann sogar gut sien, dass die Idee, da irgendwie mit Buchstaben und Formeln oder was weiß ich was da drin stand - ich hab sie nur nach Logik im Kopf und keine Arnung wie ich das grad mathematisch notieren würde :D Naja, ich muss dann schon wieder Schluss machen, aber ich werd schaun, dass ich mich am Donnerstag und/oder am Wochende damit mal ne Weile beschäftigen kann ;)

CU
&nbsp;Klaus

[klaus52]

So, ich hatte gestern bei nem Arzt im Wartezimmer Zeit mich damit auseinander zu setzen, und hab heute noch etwas dran rumgemacht....
Und ich denke, ich konnte schon erheblich was einschränken....
Jetzt kommen für mich noch 10 x mit den dazugehörigen y's in Frage, und ich weiß nciht, wie ich das noch weitereinschränken soll...
Allerdings hab ich mich vorher auf ne Vermutung gestützt (die ich noch nicht beweisen konnte), die mir, falls richtig, ne Menge arbeit erspart hat... falls sie falsch ist wäre dies eine Erklärung, warum 10 x und 10 y übrig bleiben, und nicht 1....

[klaus52]

Ich hab mir grad nochmal den Thread hier angeschaut, das erste mal nicht schlaftrunken (wenn man von der Aufgabe an sicch absieht) :D, und hab festgestellt, dass meine Vermutung, die ich nicht beweisen konnte, im Prinzip die goldbach'sche Vermutung ist.... :D Das ist also nicht mein Fehler.... schade, sonst wärs vielleicht einfacher gewesen die 10 Zahlen auf eine zu reduzieren :rolleyes:

So, jetzt hab ich abgetippt, wie vorgegangen bin, aber ich weiß nicht, ob ichs posten sollte, da es vielleicht schon die Lösung ist - vielleicht hab ich als ichs selber durchgeführt hab, ja nur nen Rechenfehler eingebaut. Und selbst, wenn cniht ist es wohl schon beinahe die Lösung. Oder ich hab nen Denkfehler gemacht, und das ganze ist eh nicht zu gebrauchen... Deswegen schick cihs wohl erstmal an CSV und wart, was er dazu sagt...
Ahhhh, und jetzt grad als ichs abschicken wollte ist mir evtl. der letzte Schritt, der mir noch gefehlt hat eingefallen... dann schau ich erstmal ob meine Vermutung stimmt, und schicks dann an CSV (hoffentlich mit Lösung) :D Nur heute hab ich keine Zeit mehr das nachzuprüfen, ich muss jetzt weg...

Also, bis Morgen :D
CU
&nbsp;Klaus

[klaus52]

Will hier niemand anderes mehr was posten?? 4-fach Posting sieht langsam nach Spamming aus :D
Jedenfalls hab ich mitlerweile ein Ergebniss, auch wenn noch keine Bestätigung, dass es stimmt :D Ich bin aber frohen Mutes, da ich die 10 möglichen Lösunden von vorher genau auf eine reduzieren konnte :)
Naja, jetzt bin ich mal gespannt :jupp:

CU
&nbsp;Klaus

[Chriss]

Altes Spammer :D

Schick deine Lösung doch mal an CSV? ;)

[ComSubVie]

Boah, er hats. Aba vorerst bitte nicht posten, wie wir sehen ist es ja möglich das nach langer zerebraler onanie zu lösen. vielleicht kommt ja doch noch wer drauf? :eg:

[klaus52]

Haha, dann kann ich mich jetzt ja entspannt zurücklegen :eg: :D
Tja, ich hab mit solchen Aufgaben halt Übung, nicht umsonst werde ich dieses Jahr den Mathewettbewerb an unserer Schule gewinnen - der nächst besste ist übrigens ein 8. Klässler, und zwischendrin (also zwischen 8. und einschließlich 12. Klasse, eigtl. auch 13.) hat niemand, oder höchstens 1-2 mitgemacht... also vielleicht doch keine allzugroße Leistung das zu gewinnen :D

CU
&nbsp;Klaus

[MMeira]

Moin
Herzlichen Glückwunsch Klaus und super Rätsel...:blah:

[ComSubVie]

so, nachdem ich noch kein frühstück genossen habe ist per definition noch montag, und ich lieg mit einem weiteren tipp für die restlichen leute noch in der zeit :D

A kennt 52

[Alexander]

Beim nächsten Matherätsel wär etwas leichteres vielleicht angebracht,damit die Normalsterblichen auch ne Chance haben ;)

Und das y*x=52 bringt mir auch nix :(

[peter8402]

naja es bringt nur in sofern was, dass 52 in Primfaktoren zerlegt
2²*13 ist , daher also entweder 2*26 oder 4*13 .

Demnach wären x+y entweder 17 oder 28 . Ja und was bringt das nu wieder? :(
na egal ich tippe einfach auf x = 4 und y=13 :D

[Swizzy]

Wann kommt die lösung ? will die Aufgabe meinem Mathe lehrer stellen :)

[klaus52]

Stellen kannst du sie ja schon - denn ganz spontan wird dir auch der Mathe-Lehrer keine antwort geben können :D ;)
Meiner Musik Lehrerin (die auch Mathe-Lehrerin ist) hab ich die Frage auch gestellt, nachdem sie uns eine ähnliche, wenn auch leichere Aufgabe, gestellt hat:
"Es gibt 3 Schüler, Schüler 1 sitzt in der 1. Reihe, Schüler 2 in der 2. und Schüler 3 in der dritten. Alle drei schauen geradeaus nach vorne und schauen sich ncht um. Der Lehrer hat 5 Hüte, 2 weiße, 3 rote, und setzt 3 davon den Schülern auf, die sagen sollen, welche Farbe der Hut hat den sie auf haben, wobei sie, wie gesagt nur die Schüler vor sich sehen.
Schüler 3 (der ganz hinten sitzt) sagt: "Ich weiß nciht welche Farbe der Hut hat, den ich auf hab". Schüler 2 sagt: "Ich kann die Farbe meines Hutes auch nicht sagen" Daraufhin kann Schüler 1 sagen welche Farbe sein Hut hat. Welche Farbe hat er?"
Naja, diese Aufgabe konnte ich spontan lösen, jetzt bin ich mal gespannt, ob sie die Aufgabe von hier auch lösen kann. :eg:

Aber ich muss schon sagen Musikstunden sind imtlerweile was tolles, so sah unsere letzte Musikdoppelstunde aus: 1. Stunde: Comedian Harmonists" zu Ende geschaut und kurz darüber geredet, dass sie noch die Musikarbeiten der 6.Klässer korrigieren muss, und das wir in der nächsten Stunde an die Bongos und co gehen sollten. Naja, da hatten wir nicht so die Lust drauf, des müsste dann alles wiedr so rhytmisch sein, und in der richtigen Technig getrommelt werden :D Daraufhin teilt sie uns ins der nächsten Stunde die Arbeit aus, die sie mit den 6.Klässlern geschireben hat ud geht sie mit uns durch - ich glaub wir wären alle nciht üer ne 5 hinausgekommen :D (naja, wobei dazugesagt werden muss, dass die auch noch so ein Klavierdingens für Halbtonschritte zur Hilfe hatten). Un danach stellt sie uns das Matherätsel, und nach der Lösung haben wir uns nur noch Mathematiker Witze erzählt :rofl:

CU
&nbsp;Klaus

[Swizzy]

Resultate posten oder per PM ?

[peter8402]

Original geschrieben von klaus52

"Es gibt 3 Schüler, Schüler 1 sitzt in der 1. Reihe, Schüler 2 in der 2. und Schüler 3 in der dritten. Alle drei schauen geradeaus nach vorne und schauen sich ncht um. Der Lehrer hat 5 Hüte, 2 weiße, 3 rote, und setzt 3 davon den Schülern auf, die sagen sollen, welche Farbe der Hut hat den sie auf haben, wobei sie, wie gesagt nur die Schüler vor sich sehen.
Schüler 3 (der ganz hinten sitzt) sagt: "Ich weiß nciht welche Farbe der Hut hat, den ich auf hab". Schüler 2 sagt: "Ich kann die Farbe meines Hutes auch nicht sagen" Daraufhin kann Schüler 1 sagen welche Farbe sein Hut hat. Welche Farbe hat er?"
Naja, diese Aufgabe konnte ich spontan lösen, jetzt bin ich mal gespannt, ob sie die Aufgabe von hier auch lösen kann. :eg:



hmm also es fällt eigentlich nur die Möglichkeit heraus, dass Schüler in Reihe 1 und 2 beide weiß auf haben, weil dann wüsste Nr. 3 dass er rot hat.

da es aber 3 rote Hüte gibt gibt es die möglichkeit, dass beide vorderen rot auf haben oder einer von beiden rot der andere weiss. Aber daraus Können weder der Schüler aus Reihe 2 noch der aus Reihe 1 herauslesen welchen Hut sie aufhaben ...

Ach doch moment mal jetzt hab ichs , wenn 1 rot auf hat, dann weiß 2 nicht , ob er rot oder weiß auf hat. Wenn 1 aber weiß auf hätte so wüsste 2 , dass er rot haben muss. Das heißt Schüler 1 hat nen roten Hut . ok das war jetzt nicht spontan aber egal :D

[klaus52]

Original geschrieben von Swizz_ruler
Resultate posten oder per PM ?

Per PM - steht im 1. Beitrag ;)

Ach, und Peter: Jupp, roter Hut stimmt, Begründung auch ;)

CU
&nbsp;Klaus

[ComSubVie]

Per PM!

Anderes Rätsel (genauso einfach): Es gibt 10 Verurteilte, jeder bekommt einen Hut (schwarz oder weiß). Jeder sieht alle Hüte nur den eigenen nicht. Jeder darf nur die Farbe des eigenen Hutes sagen. Sagt er die falsche wird er hingerichtet. Durch welche Vorgangsweise können die meisten Leben gerettet werden?

[Chriss]

Ähm... Hä? Dürfen die sich gestikultiv verständigen oder so? Weil so is das ja wohl unmöglich was genaueres zu sagen...

[ComSubVie]

nein, die dürfen sich vorher beraten, dann bekommen sie die hüte aufgesetzt und dürfen nichts anderes mehr tun als schwarz/weiß sagen

[Vernichter2002]

Sie können auf die anderen Verurteilten schaune, welchen Hut die erwischt haben und so wissen sie, welcher Hut noch frei ist

[ComSubVie]

wenn sie nicht wissen wieviele es von jeder farbe gibt?

[ONeil]

löle, ich würd gar nix sagen, so kann ich auch nicht die falsche Farbe sagen. Die richtige Lösung - kA bestimmt irgendeine hochkomplizierte Wahrscheinlichkeitsberechnung;)

[peter8402]

ich hab immer noch nicht ganz kapiert, wie die Verurteilten untereinander kommunizieren können. Darf einzelnd gesprochen werden, dachdem die Hüte aufgesetzt sind oder darf nur in der Gruppe gesprochen werden. Dürfen bestimmte Leute selektiert werden? andererseits seh ich keine Möglichkeit, wie die überhaupt irgentwie ihre chancen verbessern können. (ja die Idee mit einer sagt welche Farbe die Mehrheit der anderen aufhat hab ich auch schon überlegt, ist aber anscheinent nicht die beste Lösung)

[Gonzo]

sie sprechen vorher die reihenfolge ab, dann sagt der erste die farbe des zweiten , dann der dritte die farbe des vierten usw
5 überleben

richtig ? oder gehts noch besser

[Chriss]

Das ist gut... damit überleben mindestens 5... Vorausgesetzt du findest 5 Deppen :D

[ComSubVie]

@ONeil: nein, ist ganz einfach, wenn du es erfährst wirst du dir den kopf einschlagen :p

@peter8402: die dürfen vorher kommunizieren um sich etwas auszumachen, aber dann darf jeder nur einmal eine farbe sagen. wenn das die ist die sein hut hat, hat er gewonnen, im anderen fall stirbt er.

@all: ich kann euch ja die optimale lösung sagen, wie man draufkommt will ich dann von eucht hören. ist aber wirklich ganz einfach! sterben muss nur einer (bei einer beliebigen anzahl von leuten)

[kaki100]

ich hab so ne idee... is mir aber zu nervig die auszuführen, weil man schon viele zahlen eigentlich ausschließen kann, aber ich bin müde... mööööp

[Chriss]

Original geschrieben von ComSubVie
@ONeil: nein, ist ganz einfach, wenn du es erfährst wirst du dir den kopf einschlagen :p

@peter8402: die dürfen vorher kommunizieren um sich etwas auszumachen, aber dann darf jeder nur einmal eine farbe sagen. wenn das die ist die sein hut hat, hat er gewonnen, im anderen fall stirbt er.

@all: ich kann euch ja die optimale lösung sagen, wie man draufkommt will ich dann von eucht hören. ist aber wirklich ganz einfach! sterben muss nur einer (bei einer beliebigen anzahl von leuten)

Machma - das würd mich interessieren...

[Apokus]

Original geschrieben von Chriss
Das ist gut... damit überleben mindestens 5... Vorausgesetzt du findest 5 Deppen :D

Hmm naja zumindest der der als erstes was sagt müsste n depp sein... jedenfalls wenn ich mir gerade das richtige zusammenreime...

[cyvox]

Also wenn die vorher schon sprechen können

Dann macht man das halt mit blickkontakten

der der als ersten drann is sagt eine farbe zb weiß und guckt den an der einen weißen hut hat das macht er danne infach reihe rum

der den er übersprungen hat muss ja dann wohl nen schwarzen hut habenso erfährt jeder was er für nen hut hat aber der schafsrichter muss halt im kreis abgehen sonst geht das natürlich nciht ;)

[Swizzy]

sie sagen einfach alle die gleiche farbe ...



wann kommt jetzt die lösung will endlich meinen lehrer fragen , und das resultat noch wissen :)


achja ich meinte wegen pm das mit den 3 roten hüten und 2 weissen... ob das result per pm geshcickt werden soll :)

[Zockergod]

Original geschrieben von ComSubVie
Per PM!

Anderes Rätsel (genauso einfach): Es gibt 10 Verurteilte, jeder bekommt einen Hut (schwarz oder weiß). Jeder sieht alle Hüte nur den eigenen nicht. Jeder darf nur die Farbe des eigenen Hutes sagen. Sagt er die falsche wird er hingerichtet. Durch welche Vorgangsweise können die meisten Leben gerettet werden?



die beraten sich vorher und stellen sich in einer reihe auf. durch gegenseitiges dirigieren stellen sie sich so auf das erst alle schwarzen und dannach alle weissen kommen. so nun fängt der erste an und sagt farbe des hutes seines rechten nachbarns. die einzige gefährdete person ist die in der mitte die rechts einen weissen und links einen schwarzen hut sieht. diese Person muss einfach raten und damit ensteht eine 50 / 50 Chance das alle, oder gegebenenfalls nur 9 Leute überleben.


Beispiel 5 weisse; 5 schwarze hüte.

zuerst stehen alle mit den schwarzen hüten und dann die mit den 5 weissen. die ersten 4 sagen schwarz, der 5 hat die 50/50 chance und die anderen wissen dann durch ihre nachbaren das sie einen weissen hut aufhaben.

[Swizzy]

aber es sind doch nicht nur 10 hüte... es hat von jeder farbe mehr als 5...

[Zockergod]

kurze frage hab ich noch, wie war jetzt die Lösung zu dem Haupträtsel?


kann die hier nicht gepostet werden??? wenn nicht hätt ich gerne ein pm.

danke schön

[Zockergod]

Original geschrieben von Swizz_ruler
aber es sind doch nicht nur 10 hüte... es hat von jeder farbe mehr als 5...

versteh nicht was du sagen willst

[AgentLie]

Mal meine Ideen dazu:
Original geschrieben von ComSubVie
[B]
A: Ich kenne x*y aber ich kenne x und y nicht. - Heisst doch soviel, dass x*y ein Produkt ergeben muessen, wie dass nur durch 1, sich selbst und zwei andere Zahlen teilbar sein darf, oder?
B: Ich kenne x+y und ich wusste das du x und y nicht kennst.Heisst doch soviel, wie dass die Summe aus x + y nur auf x und y schliessen laesst, die wie bei A beschrieben sind, oder?

Sollten diese Vermutungen richtig sein: Auf welchem einfachen Weg kann ich denn diese Zahlen herausfinden? Danach muss man sie ja eigentlich nur noch miteinander Vergleichen und fertig. :rolleyes:

[Chriss]

Negativ ;)

x*y gibt eine zahl. Es ist dir nicht bekannt welche (allerdings hat csv sie gepostet) und du weist auch nicht durch was sie zu teilen ist, es können auch andere zahlen sein. Es sind sogar definitiv andere dabei, weil wenn das nur prinzahlen wären, dann wüsste A die lösung ja bereits.

B wiederum hat jetzt halt ne Summe und weis über die goldbachsche vermutung (welche besagt das man jede gerade zahl als summe zweier primzahlen (pzs) schreiben kann) das x und y keine pzs sind weil sonst A schon ne lösung hätte. Seine Zahl x+Y ist ungerade, weil sie sonst als summe zweier pzs dargestellt werden könnte und er damit nicht wüsste, daß A x und y nicht kennt.

Durch diese angaben sollte es jetzt möglich sein die möglichen zahlenpaare derart einzugrenzen das nur noch eines übrig bleibt.

[Swizzy]

also ich erwaerte dann langsam mal die lösung.. hab gestern meinem leher gesagt.... am freitag geb ich resultat wenn ich nicht habe....... !!! :mad1:

[AgentLie]

Original geschrieben von Chriss
Negativ ;)

x*y gibt eine zahl. Es ist dir nicht bekannt welche (allerdings hat csv sie gepostet) und du weist auch nicht durch was sie zu teilen ist, es können auch andere zahlen sein. Es sind sogar definitiv andere dabei, weil wenn das nur prinzahlen wären, dann wüsste A die lösung ja bereits.

B wiederum hat jetzt halt ne Summe und weis über die goldbachsche vermutung (welche besagt das man jede gerade zahl als summe zweier primzahlen (pzs) schreiben kann) das x und y keine pzs sind weil sonst A schon ne lösung hätte. Seine Zahl x+Y ist ungerade, weil sie sonst als summe zweier pzs dargestellt werden könnte und er damit nicht wüsste, daß A x und y nicht kennt.

Durch diese angaben sollte es jetzt möglich sein die möglichen zahlenpaare derart einzugrenzen das nur noch eines übrig bleibt. Hm, ja hatte bei meiner ersten Vermutung ein "nicht" vergessen. Und wie wende ich diese Braunsche Vermutung jetzt an? Soll ich die ganzen Zahlen etwa "mit Hand" durchgehen? :D

[ComSubVie]

ein programm dafür zu schreiben wäre einfacher.

@swizz_ruler: für welches rätsel willst du die lösung?

@all: für das einfache mit den hüten: sie machen sich aus, das der erste schwarz sagt wenn er eine gerade anzahl von schwarzen hüten sieht, und weiß wenn er eine ungerade sieht ;)

[Swizzy]

für das erste rätsel, also deins :)

[ComSubVie]

Naja, wenn A 52 kennt, dann gibts es nur noch 2 Möglichkeiten, und eine davon ist richtig :p

[klaus52]

Original geschrieben von ComSubVie
@all: für das einfache mit den hüten: sie machen sich aus, das der erste schwarz sagt wenn er eine gerade anzahl von schwarzen hüten sieht, und weiß wenn er eine ungerade sieht ;)

Und nach diesem Muster soll höchstens einer sterben? Raff ich nicht? Ok er sagt jetzt schwarz, weil er eine gerade Anzahl von schwarzen Hüten sieht. Er hat allerdings vielleicht einen weißen auf => er könnte theoretisch sterben. Der zweite weiß, dass es eine gerade Anzhal von schwarzen Hüten gibt (oder er weiß, dass die Anzahl in wirklichkeit ungerade ist, falls der 1. einen schwarzen Hut aufhatte), aber weiß jetzt incht, ob es 2, 4, 6, oder 8 Hütte sind... und noch weniger weiß er ob er zu diesen 2 (4, 6, oder 8) Personen gehört oder nicht.... Also DAS ist mir jetzt irgendwie wikrlich zu hoch...

[ComSubVie]

naja, aber er sieht ja alle außer seinem eigenen. wenn der 1. also schwarz gesagt hat, er also eine gerade anzahl von schwarzen hüten sieht (den eigenen - unabhängig welche farbe - nicht mitgezählt), dann kann der zweite ja zählen wie viele schwarze hüte er sieht (den des ersten wieder unberücksichtigt). sieht er eine gerade anzahl, so hat er einen weißen auf, sieht er eine ungerade anzahl muss er einen schwarzen aufhaben. usw ;)

[AgentLie]

Nachdem ich mir jetzt nochmal den ganze Thread durchgelesen habe komme ich zum Schluss, dass ich noch einen Tipp brauchen. Ich habe jetzt ja eine Idee; praktisch einen Ansatz. Davon abgesehen, dass ich mit A=52 jetzt glaube ich eine Loesung habe moechte ich irgendwie den genauen Loesungsweg nahvollziehen. Mein Problem ist nur Durch diese angaben sollte es jetzt möglich sein die möglichen zahlenpaare derart einzugrenzen das nur noch eines übrig bleibt.Wie kann ich die Zahlen denn auf EINFACHEM Wege nach den kriterien durchgehen? :confused:

[Chriss]

Jede Zahl von B in die sich in der Summe durch zwei primzahlen ausdrücken lässt kannst du knicken, weil sonst B nicht wüsste das A nix weis. :hmm: das sind alle Geraden. :D

@CSV: Ok, aber kannst du nicht den ganzen lösungsweg posten? Mich interessiert weniger die Lösung (die ich mit 52 ruckzuck hätte) sondern der Weg dahin - wenn man eben 52 NICHT weiß.

[AgentLie]

Original geschrieben von Chriss
Jede Zahl von B in die sich in der Summe durch zwei primzahlen ausdrücken lässt kannst du knicken, weil sonst B nicht wüsste das A nix weis. :hmm: das sind alle Geraden. :D]Bleiben ja nur noch 200 Loesungen zu ueberpruefen. ;)

@CSV: Ok, aber kannst du nicht den ganzen lösungsweg posten? Mich interessiert weniger die Lösung (die ich mit 52 ruckzuck hätte) sondern der Weg dahin - wenn man eben 52 NICHT weiß. [/B]Dito

[ComSubVie]

die mathematische lösung kann ich gleich anbieten, die für euch verständliche werde ich mehr oder weniger von klaus52 übernehmen sofern es keine einwände gibt, er hat das recht gut geschrieben ;)

mathematische lösung: http://www.math.ohio-state.edu/~mckinley/gss/SPTalk.pdf

[klaus52]

Ich hab nichts dagegen - auch wenn ich mitlerweile Glaube, dass ich es leicht anders geschrieben hab, als ich es wirklich getan hab, vermute ich jedenfalls im nachhinein.... aber was ich geschrieben habe müsste, wenn ich richtig vermute eingrenzender sein (damit mein ich es schneller möglich sein damit einzugrenzen ;)), als was ich getan hab, falls ich richtig vermute.... :D Aber vielleicht vermute ich ja auch falsch, und ich hab alles so geschrieben wie ichs getan hab... bin zuuu faul nochmal das geschriebene durchzulesen... und dann auch noch dazu zu überlegen was ich getan hab.... und insbesondere muss ich noch Informathik aufgaben machen :kotz:

Aber noch eine Sache warum ich bei dieser Aufgabe einfach einen (unfairen) Vorteil hatte:
A=52

52! Mit dieser Zahl muss ich mich einfach auskennen, des war dadurch quasi ein Heimspiel :D

CU
&nbsp;Klaus52

P.S.: Arg! Du hast uns die Aufgabe ja falsch gestellt! Ich hab mir grad dienen Link angeguggt und da liegt x und Y im Bereich [2,99], du hast aber [2, 100] gesagt! Das unnötige Arbeit verursacht :eg: :D ;)

[ComSubVie]

Hi CSV!
Ich hoffe mal, das aktzeptierst du so als Lösung. Den Anfang wollte ich eigtl. in den Thread schreiben, bevor ich die Lösung hatte, um anderen zu helfen, und damit andere mir wieder helfen können, aber dann ist mir die LKösung doch noch eingefallen, und ich hab ein Update dazugeschrieben. Ich hoff das ganze ist dennoch halbwegs verständlich (ich kann dir auch gerne noch die excel Tabelle dazuschicken, in der alles außer der Anfang (jedenfalls für mich :D) erkennbar ist );)

Naja, hier ich das gnaze (hoffentlich richtig) gelöst hab:

Naja, ich sag euch jetzt mal wie ich bisher vorgegangen bin, vielleicht hilfts ja jemandem...

A=x*y
B=x+y

A darf sich nicht eindeutig auf zwei Faktoren zurückführen lassen.
Sprich: A darf z.B. nicht 35 sein, da die einzig in Frage kommenden Faktoren x und y 7 und 35 wären. Und in diesem Fall würde die Aussage des 1. Mathematikers nicht stimmen, dass er x und y nicht kennt.

Durch die Einschränkung von CSV, dass x, y, x+y, und x*y zwischen [1;100] liegen lässt sich nun eine Liste erstellen was für A in Frage kommt. (Ohne die Einschränkung würde es auch gehen, jedoch müsste die Liste dann bis 10.000 gehen :rolleyes: )

Dann wissen wir noch, dass aus der Summe B hervorgeht, dass Mathematiker 1 die Zahlen nciht kennen kann.

Das heißt die Summen dürfen sich nur in Summanten zerlegen lassen, deren Produkt nicht eindeutig auf 2 Faktoren zurückzuführen ist, weshalb auch nur ungerade Summen in Frage kommen (Goldbach'sche Vermutung). Weiterhin ist bekannt, dass die Summe höchstens 53 sein kann, da CSV uns ja gesagt hat, dass x*y< 101 ist, und wenn ich die nächst größere ungerade Zahl (53) in die Summanten zerlege, die, wenn man sie multipliziert eine möglichst kleine Zahl ergeben soll ( 2*51 ) liegt das Produkt bereits über 100. (Ohne die Einschränkung von CSV könnte man jedoch auf auf diese Weise weiterrechnen, jedoch läge die größt mögliche Summe, dann bei 200)
Alle Produkte der Summanten auszurechnen ist nun aber recht zeitaufwendig, also, wie gehe ich vor? Nunja, die Produkte der Summanden sind immer durch 2 teilbar (gerade), und durch die Faktoren, durch die das Produkt gebildet werden. Daher lassen sich alle Produkte, außer 2*(A-2) auf mehr als eine Weise bilden, und müssen nciht überprüft werden. Nun muss man nur noch schauen, welche Produkte aus 2*(A-2) noch durch eine andere Zahl als 2 teilbar sind (wie ich leider erst im Nachhinein festgestellt habe erkennt man dies ja ganz einfach, daran, dass A-2 keine Primzahl sein darf. :bang: )

Nun haben wir die Zahlen, die für A in Frage kommen, und die Zahlen, die für B in Frage kommen. Doch wie hilft uns das weiter? Oder anders gesagt: Wie kann Mathematiker 1 nun x und y kennen?

Die Antwort die, ich auf diese Frage gefunden habe ist folgende:
Das Produkt A muss eine Zahl sein, die wenn man alle für B in Frage kommenden Summen in alle möglichen Summanden zerlegt und diese jeweils miteinader multipliziert nur ein einziges mal vorkommt.

Nunja, das ahbe ich getan, jedoch gibt es bei mir 10 Zahlen, die nur 1 einziges mal vorkommen...
Auf diese 10 Zahlen treffen meiner Meinund nach die ersten beiden Zeilen des Gesprächs ohne weiteres zu. Und auch die dritte Zeile lässt sich damit noch lösen. Die 4te müsste dann allerdings lauten: "Wenn das so ist, kann ich x und y auf 10 Paare eingrenzen..."

[Update]
Ich hatte also eine entsprechende Liste erstellt, und da waren 10 solche Zahlen drin (Die Gesmtheit dieser Zahlen nene ich in Folgendem "[Z]"). Doch ich hatte etwas nicht bedacht:
Zu einer Summe x+y=[Z] durfte es nur eine Lösung geben, damit die 4.Zeile des Gesprächs berücksichtigt ist. (Und außerdem musste ich meine Liste noch verlängen, damit ich wirklich nur noch eine Zahl hatte, bei der dies der Fall war. Ich wusste zwar, dass in der Verlängerung nicht das richtige Ergebniss liegt wegen der Einschränkung (x*y<101) aber dennoch brauchte ich eine längere Liste um andere Zahlen auszuschließen.


So, zum Schluss nochmal die Lösung:
x=4
y=13

[Chriss]

der lösungsweg den du also benutzt hast, klaus beruhte darauf eine liste mit lösungsmöglichkeiten aufzustellen und die dann nach und nach einzugrenzen?

[EsSchneit]

oh, mittlerweile steht die läsung hier ja auch.
bin voll eprimiert, sass davor und hatte keinen plan uns legs mal vor fun meinen papa auf den schreibtisch... als ich das näcshte mal in mein zimmer kam lag da ne kurze erklärung und die richtige lösung... :rolleyes:
tja. hab wohl noch viiiel zu lernen :D

[ComSubVie]

@chriss: jopp

[klaus52]

Original geschrieben von Chriss
der lösungsweg den du also benutzt hast, klaus beruhte darauf eine liste mit lösungsmöglichkeiten aufzustellen und die dann nach und nach einzugrenzen?

Jupp, Zeile für Zeile das Gespräch durchgegangen und überlegt: Was sagt mir diese Zeile? Welche zahlen kann ich ausgrenzen? (bzw. anders herum: Welche Zahlen sind demnach noch möglich?)

Und irgendwann blieb nur noch eine mögliche Lösung übrig - allerdings hatte mich CSV's Einschränkung, dass x*y im Bereich [2;100] liegt dabei ziemlich lange verunsichert, da ich zuerst nicht auf den Gedanken gekommen bin, dass ich vielleicht noch mehr Zahlen brauche um alles bis auf eins ausschließen zu können :eg: Naja, ich kam aber dann doch noch drauf... ;)

[Chriss]

Jetzt weis ich warum ich da nicht draufgekommen bin - das ist :A: :D